Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，试比较T_n与的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，其中a₁=1，a_n≠0．
∴，
．
（Ⅱ）由已知可知，故．
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
于是 数列{a_2m-1}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，∴a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
数列{a_2m}是以a₂=2为首项，2为公差的等差数列，∴a_2m=2+2（m-1）=2m，
∴a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅲ）可知．下面给出证明：
要比较T_n与的大小，只需比较2T_n与log₂（2a_n+1）的大小．
由，得，，
故．
从而 ．
=
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=-log₂（2n+1）
=
=．
设，
则，
故=，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以对于任意 n∈N^*都有，
从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以．
即 ．
分析：（I）利用，其中a₁=1，a_n≠0，令n分别取1，2即可得出；
（II）由已知可知，可得．由于a_n+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：a_n+2-a_n=2
（n∈N^*）． 即可得出通项a_n．
（III） 要比较T_n与的大小，只需比较2T_n与log₂（2a_n+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2T_n，令f（n）=2T_n-log₂（2a_n+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．
点评：本题考查了数列的通项a_n与S_n之间的关系，分类讨论的思想方法，等差数列的通项公式，对数的运算性质，作差法和作商比较两个数的大小等知识与方法，熟练掌握它们是解题的关键．本题需要较强的计算能力和转化能力．