Question

7．已知平面直角坐标系xOy中，A（6，2$\sqrt{3}$），B（4，4），圆C是△OAB的外接圆．
（1）求圆C的一般方程；
（2）若过点P（0，4$\sqrt{3}$）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设出圆的一般式方程，把三点坐标代入列方程组，求出系数；
（2）分两种情况求解：当直线的斜率不存在时，只需要验证即可；当直线的斜率存在时，根据直线l与圆C相切，所以圆心到直线距离为4，求直线的斜率．

解答 解：（1）设圆C方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，由题意列方程组$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{4D+4E+F+32=0}\\{6D+2\sqrt{3}E+F+48=0}\end{array}\right.$，
解得D=-8，E=F=0．所以圆C：（x-4）²+y²=16；
（2）圆C：（x-4）²+y²=16，圆心C（4，0），半径4，
当斜率不存在时，l：x=0符合题意；
当斜率存在时，设直线l：y=kx+4$\sqrt{3}$，即kx-y+4$\sqrt{3}$=0，
因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线距离为4，
所以$\frac{|4k+4\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，所以k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直线l：x+$\sqrt{3}$y-12=0，
故所求直线l为x=0或x+$\sqrt{3}$y-12=0．

点评 本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相切时，圆心到直线距离等于半径，注意用到斜率考虑是否存在问题，这是易错处．