Question

（2009•连云港二模）已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若k＞0且k≠1，问是否存在常数m，使数列{b_n}是公比不为1的等比数列？请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）．

Answer 1

分析：（1）直接把k=1代入，利用函数的单调性即可求出a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m进而求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）利用函数的单调性即可求出b_n=kb_n-1+m，然后让其满足等比数列的定义，求出对应的常数m即可．
（3）利用函数的单调性即可求出a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m，再求出b_n-a_n的表达式，就可推得（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）．

解答：解（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）．
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，所以b_n=kb_n-1+m（n∈N^*，n≥2）．
要使数列{b_n}为等比数列，

bn

bn-1

=k+

m

bn-1

必须为与n无关的常数．
又b₁=1，k＞0，k≠1，
故当且仅当m=0时，数列{b_n}是公比不为1的等比数列．
（本题考生若先确定m=0，再证此时数列{b_n}是公比不为1的等比数列，给全分）
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）．
所以b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）=（-k）²（b_n-2-a_n-2）═（-k）^n-1（b₁-a₁）=（-k）^n-1．
所以Ti-Si=

i

j=1

(bj-aj)=

i

j=1

(-k)j-1=

i  k=-1 1-(-k)i 1+k   k＜0  k≠-1.

故（T₁+T₂++T₂₀₀₈）-（S₁+S₂++S₂₀₀₈）
=

2008

i=1

(Ti-Si)=

2008

i=1

i

j=1

(bj-aj)=

2017036  k=-1 2008+2009k-k2009 (1+k)2 ，k＜0  k≠-1.

点评：本题的前2问还是比较基础的，但第3问就有点复杂．考查的知识点不难，过程有些费劲．若是学有余力的学生可以继续深究．