Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=

2

，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=

π

3

，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；
（Ⅱ）二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）先证明BE是异面直线AB与EB₁的公垂线，再利用平面几何知识结合方程思想及解三角形的方法求出BE的长即可；
（2）过E作EG∥B₁A₁再证明∠AEG是二面角A-EB₁-A₁的平面角，利用平行证得∠AEG=∠BAE，只要求出tan∠BAE即得．

解答：解：（Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE．
又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB．
由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是异面直线AB与EB₁的公垂线，
在平行四边形BCC₁B₁中，设EB=x，则EB₁=

4-x2

，
作BD⊥CC₁，交CC₁于D，则BD=BC•sin

π

3

=

3

2

．
在△BEB₁中，由面积关系得

1

2

x

4-x2

=

1

2

•2•

3

2

，即（x²-1）（x²-3）=0．
解得x=±1，x=±

3

（负根舍去）
当x=

3

时，在△BCE中，CE²+1²-2CE•cos

π

3

=3，
解之得CE=2，故此时E与C₁重合，由题意舍去x=

3

．
因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1．
（Ⅱ）过E作EG∥B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圆A₁B₁E内，
又已知AE⊥EB₁
故∠AEG是二面角A-EB₁-A₁的平面角．
因EG∥B₁A₁∥BA，∠AEG=∠BAE，故tanAEG=

BE

AB

=

1

2

=

2

2

．

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．