Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13．
（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），骰子向上的数字一次记为a，b，求方程f（x）=0有两个不等正根的概率；
（2）如果a∈[2，6]，求函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：如果先后抛掷的一枚均匀的骰子所得的向上的点数记为（a，b），

则基本事件总数n=6×6=36，

设事件A表示“f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13=0有两个不等正根“，

则事件A满足： ，

满足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4个，

∴方程f（x）=0有两个不等正根的概率p（A）= ．

（2）解：设事件B表示“函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数”，

∵a∈[2，6]，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13的对称轴为x=a﹣2∈[0，4]，区间长为4，

f（x）在区间[2，3]上为增函数时，只要对称轴不在[2，3]上即可，

∴对称轴不在[2，3]的区间长为3，

根据几何概型定义得函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率P（B）=

【解析】1、由题意可得基本事件总数=36根据题意二次函数有两个不等的正根利用列举法求出满足事件A的基本事件个数由此求出方程f（x）=0有两个不等正根的概率。
2、由题意可知设事件B表示“函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数”根据题意可知f（x）在区间[2，3]上为增函数时只要对称轴不在[2，3]上即可根据几何概型定义得函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率。