Question

已知函数的导函数是，在处取得极值，且．
（Ⅰ）求的极大值和极小值；
（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的极大值为，极小值为；（Ⅱ）的取值范围是：；（Ⅲ）直线OM斜率的最小值为4；，证明详见解析．

试题分析：（Ⅰ）由已知，首先利用求出，再由得，从而得，其导函数，利用求函数极值的一般方法及一般步骤列表即可求得函数的极大值和极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，分，两种情形讨论．①当时，由（I）知在上递增，所以的最大值，问题转化为；②当时，的最大值，由对任意的恒成立，等价于，进而可求得的取值范围；（Ⅲ）由已知易得直线斜率，由于，易得直线斜率的最小值为4．当时，有，故，可以构造函数，利用导数证明在恒成立，从而证得．
试题解析：（I）依题意，，解得，                    1分
由已知可设，因为，所以，则，导函数．                                 3分
列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	递增	极大值4	递减	极小值0	递增

由上表可知在处取得极大值为，在处取得极小值为．                                       5分
（Ⅱ）①当时，由（I）知在上递增，所以的最大值，    6分
由对任意的恒成立，得，则，因为，所以，则，因此的取值范围是．            8分
②当时，因为，所以的最大值，由对任意的恒成立，得， ∴，因为，所以，因此的取值范围是．
综上①②可知，的取值范围是．                          10分
（Ⅲ）当时，直线斜率，因为，所以，则，即直线斜率的最小值为4．            11分
首先，由，得.
其次，当时，有，所以，                12分
证明如下：记，则，所以在递增，又，则在恒成立，即，所以 .              14分．