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(经典回放)已知函数f(x)=(a>1).

(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

答案:
解析:

  解析:(1)任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,>1,且>0,

  ∴(-1)>0.

  又∵x1+1>0,x2+1>0,

  ∴>0.

  于是f(x2)-f(x1)=>0,

  故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

  (2)证法一:设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0,则,且0<<1,

  ∴0<<1,即<x0<2.与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.

  证法二:设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0,

  ①若-1<x0<0,则<-2,<1,

  ∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾.

  ②若x0<-1,则>0,>0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾.

  故方程f(x)=0没有负数根.


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