Question

等差数列{a}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，．
（1）求通项a_n；
（2）令b_n=，设T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，求实数M、m的取值范围；
（3）试构造一个函数g（x），使恒成立，且对任意的，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列的公差为d，利用a₁，a₂，a₅成等比数列，可得d=2a₁，利用等差数列的求和公式及，即可确定数列的首项与公差，从而可得通项a_n；
（2）b_n==1+-，确定T_n的范围，根据M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，即可求得实数M、m的取值范围；
（3）取g（x）=，则，再验证满足题意即可．
解答：解：（1）设数列的公差为d
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，∴
∴
∵d＞0，∴d=2a₁，①
∵
∴5a₁+10d=②
由①②可得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）b_n==1+-，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n-n=1-∈[，1）
∵M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，
∴n∈（-∞，），M∈[1，+∞）；
（3）取g（x）=，则
∴，
又f（n）可无限接近，且对任意的m∈，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．
点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查参数范围的确定，解题的关键是确定数列的通项．