Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）根据已知条件求出，对参数的取值进行分类讨论，即可求出的单调区间.

（2）将不等式转化为.令，.通过导数研究的单调性，可知 ，即可求出实数 的取值范围.

试题解析：（Ⅰ），

当时，，故，

∴函数在上单调递增，

∴当时，函数的递增区间为，无减区间．

当时，令，，

列表：

	＋	－	＋

由表可知，当时，函数的递增区间为和，

递减区间为．

（Ⅱ）∵，

∴由条件，对成立．

令，，

∴

当时，，

∴在上单调递减，

∴，即

∴在上单调递减，

∴，

故在上恒成立，只需，

∴，即实数的取值范围是．

点晴：本题考查的用导数研究函数的单调性和用导数解决不等式恒成立问题.研究单调性问题，首先看导函数对应的方程能否因式分解，否则的话需要对其判别式，

进行分别讨论，时原函数单调，,需要对方程的根和区间的端点大小进行比较;第二问中的不等式恒成立问题，首选变量分离转化为确定的函数求最值即可.