Question

（1）已知正数x、y满足2x+y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值及对应的x、y值．
（2）已知x、y为正实数，且2x+y+6=xy，求x+y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于正数x、y满足2x+y=1，可得

1

x

+

1

y

=(2x+y)(

1

x

+

1

y

)=3+

y

x

+

2x

y

，利用基本不等式即可得出；
（2）由于x、y为正实数，且2x+y+6=xy，可知：x≠1．于是y=

2x+6

x-1

，
可得x+y=x+

2x+6

x-1

=(x-1)+

8

x-1

+3，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）∵正数x、y满足2x+y=1，
∴

1

x

+

1

y

=(2x+y)(

1

x

+

1

y

)=3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

y x • 2x y

=3+2

2

，当且仅当x=1-

2

2

，y=

2

-1时取等号．
故

1

x

+

1

y

的最小值是3+2

2

．
（2）∵x、y为正实数，且2x+y+6=xy，可知：x≠1．
∴y=

2x+6

x-1

，
∴x+y=x+

2x+6

x-1

=(x-1)+

8

x-1

+3≥2

8 x-1 •(x-1)

+3=3+4

2

，当且仅当x=2

2

+1时取等号．
∴x+y的最小值为3+4

2

．

点评：本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，注意“一正，二定，三相等”法则，属于中档题．