Question

设非零复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅满足

a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = a5 a4 a1+a2+a3+a4+a5=4( 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 )=S

其中S为实数且|S|≤2．
求证：复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

Answer 1

分析：设

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=q，由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=

4

a1q4

（1+q+q²+q³+q⁴），故（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，所以a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．由此进行分类讨论，能够证明复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

解答：证明：设

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=q，
由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=

4

a1q4

（1+q+q²+q³+q⁴），
∴（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，
∴a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．
①若a1q2=±2，则±2(

1

q2

+

1

q

+1+q+q2)=S，
∴S=±2[(q+

1

q

)2+(q+

1

q

)-1]=±2[（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

]，
∴由已知条件得（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

∈R，且|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1．
令q+

1

q

+

1

2

=h（cosθ+isinθ），则h2(cos2θ+isin2θ)-

5

4

∈R，
∴sin2θ=0．
-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-

5

4

≤1，
∴

1

4

≤h2(cos2θ+isin2θ)≤

9

4

，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+

1

q

∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
则q+

1

q

=（r+

1

r

）cosα+i（r-

1

r

）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，则q=±r为实数，
此时q+

1

q

≥2，或q+

1

q

≤-2．
此时，q+

1

q

+

1

2

≥5，或q+

1

q

+

1

2

≤-

3

2

．
此时，由|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1，知q=-1，|a₁|=2．
若r=1，仍有|a₁|=2，故此五点在同一圆上．
②若1+q+q²+q³+q⁴=0，则|q|=1，
此时|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，
故此五点共圆．
综上，复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

点评：本题考查五点共圆的证明，具体涉及到复数、三角函数等知识点的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．