Question

定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)不恒为0.

(1)求f(1)和f(－1)的值；

(2)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

(3)若x≥0时f(x)为增函数，求满足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的取值集合．

Answer 1

解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)．

∴f(1)＝0.

令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)．

∴f(－1)＝0.

(2)令y＝－1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得

f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，

又f(x)不恒为0，∴f(x)为偶函数．

(3)由f(x＋1)－f(2－x)≤0，知f(x＋1)≤f(2－x)．

又由(2)知f(x)＝f(|x|)，

∴f(|x＋1|)≤f(|2－x|)．

又∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|x＋1|≤|2－x|.

故x的取值集合为.