A. | 6 | B. | 8 | C. | 10 | D. | 12 |
分析 根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数,作出函数在一个周期内的图象,利用数形结合进行求解.
解答 解:∵奇函数y=f(x),对于?x∈R都有f(1+x)=f(1-x),
∴f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),
则f(2+x)=-f(x),
即f(4+x)=f(x),
则函数f(x)是周期为4的周期函数.
若0<x≤1,则-1≤-x<0,
则f(-x)=log2x=-f(x),
则f(x)=-log2x,0<x≤1,
若1≤x<2,则-1≤x-2<0,
∵f(2+x)=-f(x),
∴f(x)=-f(x-2),
则f(x)=-f(x-2)=-log2(2-x),1≤x<2,
若2<x<3,则0<x-2<1,f(x)=-f(x-2)=log2(x-2),2<x<3,
由g(x)=f(x)-2=0得f(x)=2,
作出函数f(x)在(0,8)内的图象如图:
由图象知f(x)与y=2在(0,8)内只有4个交点,
当0<x≤1时,由f(x)=-log2x=2,得x=$\frac{1}{4}$,
当1≤x<2时,由f(x)=-log2(2-x)=2得x=$\frac{7}{4}$,
则在区间(4,5)内的函数零点x=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$,
在区间(5,6)内的函数零点x=$\frac{7}{4}$+4=$\frac{23}{4}$,
则在(0,8)内的零点之和为$\frac{1}{4}$+$\frac{7}{4}$+$\frac{17}{4}$+$\frac{23}{4}$=$\frac{48}{4}$=12
故在(0,8)内所有的零点之12,
故选:D
点评 本题主要考查函数与方程的应用,根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性,利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题,利用数形结合是解决本题的关键.
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A. | -7 | B. | -5 | C. | 1 | D. | 5 |
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