分析 (1)由BD=CD=$\frac{1}{2}$,BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得BD⊥CD,且AD⊥CD,可推得CD⊥平面ABD;
(2)由AM=AN可知$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{BD}=\frac{EN}{CD}$,从而可求得ME,EN,ED的长,且ME、EN、ED两两垂直,VE-MDN=V棱锥D-EMN.
解答 解:(1)∵三角形ABC等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥CD,BD=CD=$\frac{1}{2}$,
∵BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴BD2+CD2=BC2,∴BD⊥CD,
∵AD∩BD=D,AD?平面ABD,BD?平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)∵AM=AN,AB=AC=1,
∴ME∥BD,EN∥CD,
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{BD}=\frac{EN}{CD}$=$\frac{AN}{AC}$,
ME⊥EN,DE⊥ME,DE⊥EN,
∴ME=EN=$\frac{1}{3}$,
∵AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-ED}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{2}{3}$,
∴ED=$\frac{\sqrt{3}}{6}$.
∵V棱锥E-MDN=V棱锥D-EMN=$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{2}$×EM×EN)×ED=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{324}$.
点评 本题考查了棱锥的体积计算,找到合理的底面和高是解决体的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{2}{7}$ | D. | -$\frac{1}{7}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$i | B. | $\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$i | C. | -$\frac{1}{5}$-$\frac{2}{5}$i | D. | -$\frac{2}{5}$-$\frac{1}{5}$i |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 函数f(x)的最小正周期为2 | |
B. | 函数f(x)的值域为[一4,4] | |
C. | 函数f(x)的图象关于( $\frac{10}{3}$,0)对称 | |
D. | 函数f(x)的图象向左平移 $\frac{π}{3}$个单位后得到y=Asinωx的图象 |
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