Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设=λ₁，=λ₂，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

解：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得
==，
即|AF₁|=，|AF₂|=，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=+，
=2c（+）=2c•，
得e=．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①当y₀=0时，λ₁+λ₂=2=；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂=．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y=（x-c），
由，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韦达定理得 y₂y₀=，
所以y₂=，
所以 λ₂==-=-，
同理可得λ₁==-=-，
故λ₁+λ₂=．
分析：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得==，由此能求出e=．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．当y₀=0时，λ₁+λ₂=2=；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂=．．当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y=（x-c），由此能证明λ₁+λ₂=．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．