Question

【题目】设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：对称轴x=﹣a

①当﹣a≤0a≥0时，

f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=﹣a﹣1

②当﹣a≥2a≤﹣2时，

f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3

③当0＜﹣a＜2﹣2＜a＜0时，

f（x）在[0，2]上是不单调，x=﹣a时有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1

∴

（2）解：存在，

由题知g（a）在 是增函数，在 是减函数

∴ 时， ，

g（a）﹣m≤0恒成立

g（a）max≤m，

∴

∵m为整数，

∴m的最小值为0

【解析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．