Question

如图甲，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图乙）。

（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）当Q点落在PB中点时，求DC与平面ADQ所成角的大小。

Answer 1

解：（1）证明：由题意可得AD=DC=PD=2
取AD中点H，连接FH，GH，
∵E，F，G分别是PC，PD，BC 的中点，
∴GH∥CD，EF∥CD，
∴EF∥GH，
∴E，F，H，G四点共面
又∵AP∥FH，FH平面EFHG，
∴AP∥平面EFG。
（2）E，Q分别是PC，PB的中点，
∴EQ∥BC∥AD，
∴A，D，E，Q四点共面，平面ADEQ与平面ADQ是同一平面
又∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PDC，
∴AD⊥PC
又∵在Rt△PDC中，PC⊥DE，AD∩DE=E，
∴PC⊥平面ADEQ，
∴∠CDE为DC与平面ADQ所成的角，
显然。