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函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω是常数,A>0,ω>0,φ是锐角)的部分图象如图所示,其中f(
π
3
)=0,f(
12
)=-
2
=f(x)min

(1)求f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象先向右平移
φ
ω
个单位,再将图象上的每个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的ω倍,得到函数g(x)的图象,试写出函数g(x)的解析式;
(3)若存在x0∈(0,
π
4
)
,使得g(x0)+acosx0=2
2
成立,求实数a的取值范围.
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(1)由图可知,A=
2
T
4
=
12
-
π
3
=
π
4

∴T=π,故ω=2;
又f(
π
3
)=0,由图可知,2×
π
3
+φ=π,
∴φ=
π
3

∴f(x)=
2
sin(2x+
π
3
);
(2)将函数f(x)的图象先向右平移
π
6
个单位,得到函数y=
2
sin[2(x+
π
6
-
π
6
)]=
2
sin2x;
再将图象上的每个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)=
2
sinx;
(3)若存在x0∈(0,
π
4
),使得
2
sinx0+acosx0=2
2
成立.
a=
2
(2-sinx0)
cosx0
=h(x0),x0∈(0,
π
4
),
可以求导h′(x0)=
2sinx0-1
cos2x0
,得:
h(x0)在(0,
π
6
)递减,[
π
6
π
4
)递增;
h(
π
6
)=
6
,h(0)=2
2
,h(
π
4
)=4-
2

所求实数a的取值范围是[6,2
2
].
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

有两个函数f(x)=asin(kx+
π
3
),g(x)=btan(kx-
π
3
)(k>0),它们的周期之和为
3
2
π
且f(
π
2
)=g(
π
2
),f(
π
4
)
=-
3
g(
π
4
)+1
求这两个函数,并求g(x)的单调递增区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,是函数f(x)=Asin(φx+φ)(其中A>0,φ>0,0<φ<π)的部分图象,则其解析为
y=2sin(
1
2
x+
4
)
y=2sin(
1
2
x+
4
)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<
π
2
)的图象与X轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
π
2
,且图象上一个最低点为M(
3
,-2

(Ⅰ)求f(x)的解析式.
(Ⅱ)求函教f(x)单调递减区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π2
,x∈R)的图象的一部分如图所示:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图,则f(x)的解析式和S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2008)的值分别为(  )

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