【题目】将所有平面向量组成的集合记作, 是从到的映射, 记作或, 其中都是实数. 定义映射的模为: 在的条件下的最大值, 记做. 若存在非零向量, 及实数使得, 则称为的一个特征值.
(Ⅰ)若, 求;
(Ⅱ)如果, 计算的特征值, 并求相应的;
(Ⅲ)试找出一个映射, 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值, ②. (不需证明)
【答案】(1)1(2) ,, , (3)见解析.
【解析】
(1)由新定义可得=,利用=1,可得≤1,从而可得结论;
(2)由特征值的定义可得:,由此可得f的特征值,及相应的;
(3)解方程组,可得x1(a1﹣λ,b1)+x2(a2,﹣b1﹣λ)=0,从而可得a1,a2,b1,b2应满足的条件,当f()=λ时,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|,再进行证明即可.
(1)由于此时=,
又因为是在=1的条件下,有==≤1(x2=±1时取最大值),
所以此时有||f||=1;
(2)由f(x1,x2)=(x1+x2,x1﹣x2)=λ(x1,x2),可得:,
解此方程组可得:(λ﹣1)(λ+1)=1,从而λ=±.
当λ=时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,
所以此时方程有无穷多个解,为(写出一个即可),其中m∈R且m≠0.
当λ=﹣时,同理可得,相应的(写出一个即可),其中m∈R且m≠0.
(3)解方程组,可得x1(a1﹣λ,b1)+x2(a2,﹣b1﹣λ)=0
从而向量(a1﹣λ,b1)与(a2,﹣b1﹣λ)平行,
从而有a1,a2,b1,b2应满足:.
当f()=λ时,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|.
具体证明为:
由f的定义可知:f(x1,x2)=λ(x1,x2),所以λ为特征值.
此时a1=λ,a2=0,b1=0,b2=λ满足:,所以有唯一的特征值.
在=1的条件下=λ2,从而有||f||=|λ|.
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【题目】如图所示的等腰梯形ABCD中,,,E为CD中点.若沿AE将三角形DAE折起,并连接DB,DC,得到如图所示的几何体D-ABCE,在图中解答以下问题:
(1)设G为AD中点,求证:平面GBE;
(2)若平面平面ABCE,且F为AB中点,求证:.
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【题目】从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,
每次取出后不放回,连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率,点分别为椭圆的左右焦点,过右焦点且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆左焦点作直线,交椭圆于两点,若,求直线的倾斜角.
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