Question

抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（8，8），焦点为F
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（8，8），所以点（8，8）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标．
（2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x₀，y₀），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到M点的轨迹方程．

解答：解：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（8，8），
设抛物线解析式为y²=2px，把（8，8）代入，得，64=2×8p，∴p=4
∴抛物线标准方程为：y²=8x，焦点坐标为F（2，0）
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），
由

x= x0+2 2 y= y0 2

⇒

x0=2x-2 y0=2y

又∵

y

2 0

=8x0，
∴（2y）²=8（2x-2）
∴y²=4（x-1）
∴M的轨迹方程为 y²=4x-4．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程的求法，以及相关点法求轨迹方程，属于解析几何的常规题．