Question

动圆C的方程为x²+y²+2ax-4ay+5=0．
（1）若a=2，且直线y=3x与圆C交于A，B两点，求弦长|AB|；
（2）求动圆圆心C的轨迹方程；
（3）若直线y=kx-2k与动圆圆心C的轨迹有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：化x²+y²+2ax-4ay+5=0为标准方程，
（1）a=2时，与y=3x联立，求出A，B的坐标，由两点间距离公式，可得结论；
（2）动圆圆心为（-a，2a），可求动圆圆心C的轨迹方程；
（3）直线y=kx-2k=k（x-2）过定点（2，0），可得结论．

解答：解：化x²+y²+2ax-4ay+5=0为标准方程得：（x+a）²+（y-2a）²=5a²-5
（1）a=2时，圆方程为：（x+2）²+（y-4）²=15与y=3x联立解得x₁=1+

2

2

，y₁=3+

3 2

2

；x₂=1-

2

2

，y₂=3-

3 2

2

，即A（1+

2

2

，3+

3 2

2

）、B（1-

2

2

，3-

3 2

2

），
由两点间距离公式，得|AB|=2

5

；
（2）动圆圆心为（-a，2a），所以x=-a，y=2a，即y=-2x；
（3）因直线y=kx-2k=k（x-2）过定点（2，0），又与y=-2x有公共点，所以k≠-2（因为k=-2时两条直线平行）．

点评：本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．