Question

（2013•海口二模）椭圆C以抛物线y²=8x的焦点为右焦点，且经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，求∠F₁AF₂的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由抛物线焦点可求椭圆焦点，根据抛物线定义可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（Ⅱ）易求直线AF₁的方程、直线AF₂的方程，设（x，y）为∠F₁AF₂的角平分线上任意一点，则该点到两直线距离相等，可得方程，且∠F₁AF₂的角平分线所在直线的斜率为正数，化简即可得到所求直线方程；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
易知抛物线y²=8x的焦点为（2，0），所以椭圆的左右焦点分别为（-2，0），（2，0），
根据椭圆的定义2a=

(2+2)2+(3-0)2

+

(2-2)2+(3-0)2

=8，
所以a=4，所以b²=4²-2²=12，
所以椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（ II）由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F₂（2，0），
所以直线AF₁的方程为y=

3

4

(x+2)，即3x-4y+6=0，直线AF₂的方程为x=2，
所以∠F₁AF₂的角平分线所在直线的斜率为正数．
设（x，y）为∠F₁AF₂的角平分线上任意一点，则有

|3x-4y+6|

5

=|x-2|，
由斜率为正数，整理得y=2x-1，这就是所求∠F₁AF₂的角平分线所在直线的方程．

点评：本题考查直线方程、椭圆的定义及方程、角平分线及点到直线的距离公式，涉及知识点较多，综合性较强．