Question

若关于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有根，则m的取值范围（　　）

A．m≤-2

B．-2≤m≤0

C．m≤2

D．-2≤m≤2

Answer 1

分析：由题意可得-m=x³-3x，x∈[0，2]，利用导数判断函数在[0，1]上增，在[1，2]上减，由此求得函数-m在
[0，2]上的值域，从而求得m的范围．

解答：解：由题意可知方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，则函数-m=x³-3x，x∈[0，2]．
求出此函数的值域，即可得到实数m的取值范围．
令y=x³-3x，x∈[0，2]，则 y'=3x²-3，
令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上增，在[1，2]上减，
又当x=1，y=-2； 当x=2，y=2； 当x=0，y=0．
∴函数y=x³-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2]，
故-m∈[-2，2]，∴m∈[-2，2]，
故选 D．

点评：本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用，体现了转化的数学思想，
属于基础题．