Question

已知a，b∈R，i为虚数单位，a+(1-i)2=

2b

1+i

，则函数f（x）=sinaxcosbx的周期是（　　）

• A、

  π

  2

• B、π
• C、3π
• D、4π

Answer 1

分析：利用完全平方公式化简已知等式的左边，右边分子分母同时乘以1-i，根据i²=-1及复数为0时的条件，确定出a与b的值，代入所求的式子中，利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函数的周期．

解答：解：由a+(1-i)2=

2b

1+i

，
变形得：a+1-2i+i²=

2b(1-i)

(1+i)(1-i)

，
即（a-b）+（b-2）i=0，
∴a-b=0，且b-2=0，
∴a=b=2，
则函数f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x，
∵ω=4，∴T=

2π

4

=

π

2

．
故选A

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件，以及二倍角的正弦函数公式，利用复数的混合运算法则化简已知的等式确定出a与b的值是本题的突破点，根据三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．