Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-

3

，

3

2

)，其离心率是

1

2

．
（1）求这个椭圆的标准方程； 
（2）斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆上是否存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-

3

，

3

2

)，其离心率是

1

2

，构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，代入可得椭圆的标准方程．
（2）直线l的方程为y=x+m，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得x₁+x₂=-

4m

7

，y₁+y₂=

10m

7

，进而根据平行四边形对角顶点和相等，可得P点坐标，代入椭圆方程求出m值后，进而可得P点坐标．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-

3

，

3

2

)，且离心率是

1

2

．
∴

3 a2 + 3 4b2 =1 3a2=4b2

解得a²=4，b²=3
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设直线l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x+m

得：7x²+8mx+4m²-12=0
则x₁+x₂=-

4m

7

，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

10m

7

若四边形OAPB为平行四边形，则x₀=x₁+x₂=-

4m

7

，y₀=y₁+y₂=

10m

7

又∵点P在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，
∴

(- 4m 7 )2

4

+

( 10m 7 )2

3

=1
解得m=±

21

4

故P点坐标为（-

21

7

，

5 21

14

）或（

21

7

，-

5 21

14

）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质，是解答的关键．