Question

如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，椭圆C₁右焦点到右准线的距离为

2

4

，椭圆C₁的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C₁相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，

3 2

5

为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，可得2b=

1

3

•2a；又椭圆C₁右焦点到右准线的距离为

2

4

，可得

a2

c

-c=

2

4

，及a²=b²+c²即可得出；
（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点．
②由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程．假设存在圆心为（m，0），半径为

3 2

5

的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径

3 2

5

．即（i）

|5tm|

1+25t2

＜

3 2

5

，（ii）

|tm+ 4 5 |

1+t2

＜

3 2

5

．得出m的取值范围存在即可．

解答：解：（1）由圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，∴2b=

1

3

•2a，则a=3b．
∴c=

a2-b2

=2

2

b，
又椭圆C₁右焦点到右准线的距离为

2

4

，
∴

a2

c

-c=

b2

c

=

2

4

，∴b=1，则a=3，
∴椭圆方程为

x2

9

+y2=1．
（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，
由

y=kx-1 x2 9 +y2=1

得

x= 18k 9k2+1 y= 9k2-1 9k2+1

或

x=0 y=-1

∴P(

18k

9k2+1

，

9k2-1

9k2+1

)，
用-

1

k

去代k，得M(

-18k

k2+9

，

9-k2

k2+9

)，
kPM=

9k2-1 9k2+1 - 9-k2 k2+9

18k 9k2+1 + 18k k2+9

=

k2-1

10k

，
∴PM：y-

9-k2

k2+9

=

k2-1

10k

(x+

18k

k2+9

)，即y=

k2-1

10k

x+

4

5

，
∴直线PM经过定点T(0，

4

5

)．
②由

y=kx-1 x2+y2=1

得

x= 2k 1+k2 y= k2-1 k2+1

或

x=0 y=-1

∴A(

2k

1+k2

，

k2-1

k2+1

)，
则直线AB：y=

k2-1

2k

x，
设t=

k2-1

10k

，则t∈R，直线PM：y=tx+

4

5

，直线AB：y=5tx，
假设存在圆心为（m，0），半径为

3 2

5

的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，
则（i）

|5tm|

1+25t2

＜

3 2

5

，（ii）

|tm+ 4 5 |

1+t2

＜

3 2

5

．
由（i）得25t2(m2-

18

25

)＜

18

25

对t∈R恒成立，则m2≤

18

25

，
由（ii）得，(m2-

18

25

)t2+

8

5

mt-

2

25

＜0对t∈R恒成立，
当m2=

18

25

时，不合题意；当m2＜

18

25

时，△=(

8

5

m)2-4(m2-

18

25

)(-

2

25

)＜0，得m2＜

2

25

，即-

2

5

＜m＜

2

5

，
∴存在圆心为（m，0），半径为

3 2

5

的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为(-

2

5

，

2

5

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点的坐标、直线与圆相交问题转化为圆心到直线距离小于半径、点到直线的距离公式、恒成立问题的等价转化等基础知识与搅拌机能力、考查了推理能力、计算能力，属于难题．