Question

（05年浙江卷文）（14分）

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值．

Answer 1

解析：(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c
由题意,得∴a=2,b=,c=1.

故椭圆的方程为

(Ⅱ)设P(-4,y₀),y₀≠0,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

设直线PF₁的斜率k₁=,直线PF₂的斜率k₂=,

∵0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,∴∠F₁PF₂为锐角.

∴tan∠F₁PF₂=

当且仅当,即|y₀|=时,tan∠F₁PF₂取到最大值此时∠F₁PF₂最大,∴

∠F₁PF₂的最大值为arctan.