【题目】已知是平面内两个不共线的非零向量,
,
,
,且
三点共线.
(1)求实数的值;
(2)已知,点
,若
四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)由三点共线可知,据已知条件,可得关于
的方程组,解方程组得
值;(2)由已知条件可求出
坐标,由平行四边形的边之间的关系可得
,再由
点坐标可得
点的坐标.
试题解析:
(1)=
+
=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2∵A,E,C三点共线,
∴存在实数k,使得=k
,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
∴,解得k=-
,λ=-
.
(2)=
+
=-3e1-
e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴=
.
设A(x,y),则=(3-x,5-y),
∵=(-7,-2),∴
,解得
,
即点A的坐标为(10,7).
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【题目】已知椭圆的离心率
,且经过点
.
求椭圆
的方程;
过点
且不与
轴重合的直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,过右焦点
的直线
分别交椭圆
于点
,设
,
,求
的取值范围.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.若,则
,
的长度相等,方向相同或相反
B.若向量是向量
的相反向量,则
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形中,一定有
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【题目】已知椭圆的离心率为
,直线
经过椭圆
的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与
轴交于点
,
、
是椭圆
上的两个动点,且它们在
轴的两侧,
的平分线在
轴上,
|,则直线
是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极坐标建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
求
的普通方程;
将圆
平移,使其圆心为
,设
是圆
上的动点,点
与
关于原点
对称,线段
的垂直平分线与
相交于点
,求
的轨迹的参数方程.
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【题目】已知点是抛物线
上一点,
为
的焦点.
(1)若,
是
上的两点,证明:
,
,
依次成等比数列.
(2)过作两条互相垂直的直线与
的另一个交点分别交于
,
(
在
的上方),求向量
在
轴正方向上的投影的取值范围.
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【题目】若各项均不为零的数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,且
,
.
(1)证明数列是等比数列,并求
的通项公式;
(2)设,是否存在正整数
,使得
对于
恒成立.若存在,求出正整数
的最小值;若不存在,请说明理由.
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