【题目】已知椭圆M:=1(a>b>c)的一个顶点坐标为(0,1),焦距为2.若直线y=x+m与椭圆M有两个不同的交点A,B
(I)求椭圆M的方程;
(II)将表示为m的函数,并求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)
【答案】(Ⅰ)=1(II),(-2<m<2);△OAB面积的最大值为
【解析】
(I)已知条件说明,,从而可得,得椭圆方程;
(II)把直线方程代入椭圆方程,设交点为,由判别式求得的取值范围,用韦达定理求得,由弦长公式求得弦长,再求出点到直线的距离,从而得出的面积表示为的函数,由函数的知识可得最大值.
(I)由题意可知:c=,b=1
由得:a=
所以椭圆的标准方程为:=1
(II)设点A坐标为()、点B坐标为()
联立直线与椭圆的方程,消去y
整理得4+6mx+3-3=0
由直线与椭圆相交可得:△=36-16(3-3)>0,即<4
解得:-2<m<2
=-,=
点O到直线l的距离d=
所以
=(-2<m<2)
当,即m=±时,△OAB面积的最大值为
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【题目】已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程,并求其离心率;
(2)过点作轴的垂线,设点为第四象限内一点且在椭圆上(点不在直线上),点关于的对称点为,直线与交于另一点.设为原点,判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,三棱柱ABC-中,⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=AC=2,C=4,D为BC的中点
(I)求证:AC⊥平面AB;
(II)求证:C∥平面AD;
(III)求平面与平面所成锐二面角的余弦值
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【题目】在直角坐标系中,直线,圆.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,设与的交点为、,求.
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【题目】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
的分组 | |||||
企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:.
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【题目】甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立,根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析,甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.6,0.6,0.75.
(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率;
(2)求经过两次考试后,至少有一人被该高校预录取的概率.
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