Question

已知点C（x，y）（x＞0，y＞0）在抛物线f（x）=4-x²上（如图），过C作CD∥x轴交抛物线于另一点D，设抛物线与x轴相交于A，B两点，试求x为何值时，梯形ABCD的面积最大，并求出面积的最大值．

Answer 1

分析：求出A、B的坐标，设C（x，y），则梯形的面积g(x)=

1

2

(4+2x)•y=(2+x)(4-x2)=-x3-2x2+4x+8，
利用导数求得g（x）的最大值．

解答：解：令4-x²=0，得A（-2，0），B（2，0），设C（x，y），又由对称性知D（-x，y）．
设梯形面积为g（x），则梯形的面积g(x)=

1

2

(4+2x)•y=(2+x)(4-x2)=-x3-2x2+4x+8，
g′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），令g′（x）=0，因x＞0，得x=

2

3

，
当0＜x＜

2

3

时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞

2

3

时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴当x=

2

3

时，g（x）有最大值，最大值为g(

2

3

)=

256

27

．

点评：本题考查抛物线的对称性，利用导数求函数的极值，求出梯形面积为g（x）的解析式，是解题的关键．