Question

已知直线

3

x+2y-2

3

=0恰好经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，且点M（1，t），（t＞0）在该椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：x-2y+m=0与该椭圆相交于不同两点A，B，证明：直线MA，MB的倾斜角互补．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义即可求出；
（2）直线MA，MB的倾斜角互补?k_MA+k_MB=0，将直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可证明．

解答：解：（1）由题意得

3

a+0-2

3

=0，0+2b-2

3

=0，解得a=2，b=

3

．
∴要求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵点M（1，t），（t＞0）在该椭圆上，∴

1

4

+

t2

3

=1，解得t=

3

2

，∴M(1，

3

2

)．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又直线l经过A、B，
则k_MA=

y1- 3 2

x1-1

=

x1+m-3

2x1-2

，k_MB=

y2- 3 2

x2-1

=

x2+m-3

2x2-2

．
联立

x-2y+m=0 x2 4 + y2 3 =1

，消去y化为4x²+2mx+m²-12=0，
由于直线l与椭圆相较于A、B两点，∴△=4m²-16（m²-12）＞0，化为m²＜16，解得-4＜m＜4．
由根与系数的关系可得：x1+x2=-

m

2

，x1x2=

m2-12

4

．
∴k_MA+k_MB=

(x1+m-3)(x2-1)+(x2+m-3)(x1-1)

2(x1-1)(x2-1)

=

2x1x2+(m-4)(x1+x2)-2(m-3)

2(x1-1)(x2-1)

=

m2-12 2 - m(m-4) 2 -2(m-3)

2(x1-1)(x2-1)

=0．
∴k_MA+k_MB=0号，
故直线MA、MB的倾斜角互补．

点评：熟练掌握椭圆的定义及把问题转化为直线与椭圆的相交问题的根与系数的关系是解题的关键．