Question

某实验中学高2010级同学共捐款2000元，准备为“希望小学”购买单价为50元的课桌和20元的椅子，若要使桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适．（要求画出示意图）．

Answer 1

分析：本题考查的是线性规划问题．作为应用题应先根据背景设未知数，本题可设购买桌子x张，椅子y张，其总数为z．然后根据信息找出线性约束条件，并画出可行域，然后变形目标函数根据边界直线的斜率与变形目标函数后的直线斜率对比，找到最优解的位置．通过联立边界直线解除最优解，最后根据问答情况下出结论．

解答：解：设桌椅分别买x，y张，则桌椅的总数z=x+y…（2分）
由题意得：

x≥0 y≥0 x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

…（4分）
满足以上不等式组所表示的区域
是以A（

200

7

，

200

7

），B（25，37.5），
O（0，0）为顶点的△AOB内部．（如图所示）．…（6分）
对△AOB内的点P（x，y），z=x+y，即y=-x+z，这是斜率为-1，在y轴上截距为z的平行直线系．…（7分）
要使z最大，只有点P与B重合即可，得x=25，y=37.5，但y∈Z，∴取y=37    所以买桌子25张，椅子37张时是最优选择．…（11分）
答：应买桌子25张，椅子37张．…（12分）

点评：本题考查的是线性规划中的应用问题，在解答此类问题时：认真审题、依据背景设量、列线性约束条件、写目标函数、画可行域、变形目标函数、边界直线斜率与目标函数变形后直线斜率的对比、由相应边界直线联立解得最优解还有最终根据题意下好结论的解答思路在此题中得到了充分的体现，值得同学们体会、反思还有总结．