Question

已知函数f(x)=x³-x,数列{a_n}满足条件:a₁≥1,a_n+1≥f'(a_n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.

Answer 1

见解析

+++…+<1.
理由如下:
∵f'(x)=x²-1,a_n+1≥f'(a_n+1),
∴a_n+1≥(a_n+1)²-1.
令g(x)=(x+1)²-1,则函数g(x)=x²+2x在区间[1,+∞)上单调递增,于是由a₁≥1,得a₂≥(a₁+1)²-1≥2²-1,进而得a₃≥(a₂+1)²-1≥2⁴-1>2³-1,
由此猜想:a_n≥2ⁿ-1.
下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,a₁≥2¹-1=1,结论成立;
②假设n=k(k≥1且k∈N^*)时结论成立,即a_k≥2^k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)²-1在区间[1,+∞)上单调递增知,a_k+1≥(a_k+1)²-1≥2^2k-1≥2^k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.
由①②知,对任意n∈N^*,都有a_n≥2ⁿ-1,
即1+a_n≥2ⁿ,∴≤,
∴+++…+≤+++…+==1-()ⁿ<1.
【方法技巧】“归纳——猜想——证明”类问题的一般解题思路
通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.