Question

已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足：f（m）+f（n）=f（m•n）对任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(

1

a

)的值；
（Ⅱ）若关于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且仅有一个根，求实数k的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用赋值法，令m=n=1，解得f（1）=0，令m=a ， n=

1

a

，解得f(

1

a

)=-1即可；
（Ⅱ）令m=n，得：2f（n）=f（n²），所求方程等价于f[（x+1）²]=f（kx），结合f（x）的单调性，所以原方程可化为一元二次不等式组，现分类讨论：①若k＞0，②若k＜0，结合根的分布原理，即可求得实数k的取值集合．

解答：解：（Ⅰ）令m=n=1，解得f（1）=0
又令m=a ， n=

1

a

，解得f(

1

a

)=-1
（Ⅱ）令m=n，得：2f（n）=f（n²），
所求方程等价于f[（x+1）²]=f（kx），
又f（x）是（0，+∞）上的单调函数，
所以原方程可化为

(x+1)2=kx x+1＞0 kx＞0

，即

x2+(2-k)x+1=0 x＞-1 kx＞0

若k＞0，则原问题为方程x²+（2-k）x+1=0在（0，+∞）上有一个根，
设其两根为x₁，x₂，则△=（2-k）²-4≥0，又注意到x₁x₂=1＞0，
∴只可能是二重正根，由△=0解
得k=4或k=0（矛盾，舍去）
若k＜0，则原问题为方程x²+（2-k）x+1=0在（-1，0）上有一个根，
仍有x₁x₂=1＞0，记g（x）=x²+（2-k）x+1，
易知g（0）=1＞0，
由根的分布原理，只需g（-1）＜0，即k＜0，
综上，k∈（-∞，0）∪{4}．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题，函数的单调性是函数的“局部”性质．研究函数的奇偶性，我们必须正确理解它们的定义．赋值法是解决抽象函数常用的方法．