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    已知向量
    .
    a
    =（cos
    3θ
    2
    ，sin
    3θ
    2
    ），
    .
    b
    =（cos
    θ
    2
    ，-sin
    θ
    2
    ），θ∈[0，
    π
    3
    ]，
    （I）求
    .
    a
    .
    .
    b
    |
    .
    a
    +
    .
    b
    |
    的最大值和最小值；
    （II）若|k
    .
    a
    +
    .
    b
    |=
    		3
    |
    .
    a
    -k
    .
    b
    |（k∈R），求k的取值范围．
    （1）∵
    .
    a
    =（cos
    3θ
    2
    ，sin
    3θ
    2
    ），
    .
    b
    =（cos
    θ
    2
    ，-sin
    θ
    2
    ），
    ∴
    a
    •
    b
    =cos
    3θ
    2
    cos
    θ
    2
    -sin
    3θ
    2
    sin
    θ
    2
    =cos2θ
    ∵|
    a
    +
    b
    |2    =
    a
    2    +
    b
    2    +2
    a
    •
    b
    =2+2cos2θ=4cos2θ
    ∴|
    a
    + 
    b
    |    =2cosθ，θ∈[0，
    π
    3
    ]
    ∴
    a
    •
    b
    |
    a
    +
    b
    |
    =
    cos2θ
    2cosθ
    =
    2cos2θ-1
    2cosθ

    令t=cosθ，则t∈[
    1
    2
    ，1]    ，y=
    a
    •
    b
    |
    a
    +
    b
    |
    =
    2t2-1
    2t
    =t-
    1
    2t
    ，t∈[
    1
    2
    ，1]
    则y′=1+
    1
    2t2
    ＞0
    ∴y=t-
    1
    2t
    在[
    1
    2
    ，1]    上单调递增
    ∴ymax=
    1
    2
    ，ymin=-
    1
    2

    （2）由|k
    a
    +
    b
    |=
    		3
    |
    a
    -k
    b
    |    可得(k
    a
    +
    b
    )    2    =3(
    a
    -k
    b
    )    2
    即k2
    a
    2    +
    b
    2    +2k
    a
    •
    b
    =3(
    a
    2    -2k
    a
    •
    b
    +k2
    b
    2    )
    又∵|
    a
    |=|
    b
    |=1
    ∴k2+1+2k
    a
    •
    b
    =3(1+k2-2k
    a
    •
    b
    )
    ∴
    a
    •
    b
    =
    1+k2
    4k

    由
    a
    •
    b
    =cos2θ    ，θ∈[0，
    π
    3
    ]    可得，-
    1
    2
    ≤
    a
    •
    b
    ≤1
    ∴-
    1
    2
    ≤
    1+k2
    4k
    ≤1
    ∴
    1+k2
    4k
    +
    1
    2
    ≥ 0
    1+k2
    4k
    -1≤0

    ∴
    (k+1)2
    4k
    ≥0
    k2-4k+1
    4k
    ≤0

    解可得，
    k=-1或k＞0
    k＜0或2-
    		3
    ≤k≤2+
    		3

    ∴k=-1或2-
    		3
    ≤k≤2+
    		3

    综上可得，k得取值范围为{k|k=-1或2-
    		3
    ≤k≤2+
    		3
    }
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法中，正确的个数为（　　）
    （1）
    AB
    +
    MB
    +
    BC
    +
    OM
    +
    CO
    =
    AB

    （2）已知向量
    a
    =（6，2）与
    b
    =（-3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0
    （3）若向量
    e1
    =(2，-3)，
    e2
    =(
    1
    2
    ，-
    3
    4
    )    能作为平面内所有向量的一组基底
    （4）若
    a
    ∥
    b
    ，则
    a
    在
    b
    上的投影为|
    a
    |    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知矩阵A=
    a2
    1b
    有一个属于特征值1的特征向量
    α
    =
    2
    -1
    ，
    ①求矩阵A；
    ②已知矩阵B=
    1-1
    01
    ，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
    （2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
    x=t-3
    y=
    		3
     t
    （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0．
    ①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    ②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
    （3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
    ①求不等式f（x）≥3的解集；
    ②若关于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知下列各式：
    ①
    AB
    +
    BC
    +
    CA
    ；            
    ②
    AB
    +
    MB
    +
    BO
    +
    OM

    ③
    AB
    -
    AC
    +
    BD
    -
    CD

    ④
    OA
    +
    OC
    +
    BO
    +
    CO

    其中结果为零向量的个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量
    m
    =（2a-c，b）与向量
    n
    =（cosB，-cosC）互相垂直．
    （1）求角B的大小；
    （2）求函数y=2sin2C+cos（B-2C）的值域；
    （3）若AB边上的中线CO=2，动点P满足
    AP
    =sin2θ•
    AO
    +cos2θ•
    AC
    (θ∈R)    ，求(
    PA
    +
    PB
    )•
    PC
    的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    下列说法中，正确的个数为（　　）
    （1）
    AB
    +
    MB
    +
    BC
    +
    OM
    +
    CO
    =
    AB

    （2）已知向量
    a
    =（6，2）与
    b
    =（-3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0
    （3）若向量
    e1
    =(2，-3)，
    e2
    =(
    1
    2
    ，-
    3
    4
    )    能作为平面内所有向量的一组基底
    （4）若
    a
    ∥
    b
    ，则
    a
    在
    b
    上的投影为|
    a
    |    ．
    A．1个B．2个C．3个D．4个

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