文（12分）已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求PD与AB所成角的大小；（3）求二面角A—PB—C的大小.
（1）
（2）
（3）
（1）作PO⊥平面ABCD于O，则PO⊥AD，又∵PB⊥AD，
∴AD⊥平面POB，连OB交AD于E，则PE⊥AD，BE⊥AD，
得∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，
在边长为2正△PAD中，易得AE=
，∴
为所求；
（2）易证Rt△PAE≌Rt△BAE（直角边、斜边）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中
.∵AB∥DC，∴PD与AB所成角即为PD与DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得
.∴PD与AB所成角大小为
.
（3）取PB中点G及PC中点F，则GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF为所求平面角.由（2）所证知PE=BE，∴∠PEG=60°，
,∴Rt△GAE中, 
，∴
.
解法2：建立如图坐标系,则
,先证明
及
,从而知B
,
G
，A
，C
.然后由
，如
与
所成的角即为所求平面角.∵
，∴平面角
.
注：（2）题中可由
得
.
挑战100单元检测试卷系列答案科目：高中数学 来源：河北省保定市2009届高三上学期调研考试数学试题(Word版) 题型：044
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．
(1)求二面角P－DC－B的大小；
(2)求证：(理)平面PAD⊥平面PAB；
(文)PA⊥BD．
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科目：高中数学 来源： 题型：
（08年北师大附中月考文） 已知四棱锥P―ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA = AD = DC =
AB = 1.
（I）证明：面PAD⊥面PCD；
（II）求AC与PB所成角的余弦值；
（III）求面PAB与面PBC所成的二面角的大小
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科目：高中数学 来源： 题型：
（06年山东卷文）（12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=
,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且
为何值时，PC⊥平面BMD.
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科目：高中数学 来源： 题型：
(1)求证:
是定值.
(2)已知P是SC的中点,且SO=3,问在棱SA上是否存在一点Q,使异面直线OP与BQ所成的角为90°?若存在,请给出证明,并求出AQ的长;若不存在,请说明理由.
(文)如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)求证:平面SCD⊥平面SCE.
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