Question

已知数列{a_n}，{b_n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a_n=b_n，f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N*）．
（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），

lim

n→∞

an存在，求x的取值范围；
（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f^-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，a_n+1＜a_n（用t表示）．

Answer 1

分析：（I）由题设知

an+1=tbn+1+1 an=2bn+1

，所以an+1=

t

2

an+1．由t≠2，知an+1+

2

t-2

=

t

2

(an+

2

t-2

)．由t≠0，t≠2，
f（b）≠g（b），知a1+

2

t-2

=tb+

2

t-2

≠0，

t

2

≠0，分析可得答案．
（II）因为g（x）=f^-1（x），所以b_n+1=f（a_n）．然后用数学归纳法证明a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

解答：解：（I）由题设知

an+1=tbn+1+1 an=2bn+1

，得an+1=

t

2

an+1．
又已知t≠2，可得an+1+

2

t-2

=

t

2

(an+

2

t-2

)．
由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），可知a1+

2

t-2

=tb+

t

t-2

≠0，

t

2

≠0，
所以{an+

2

t-2

}是等比数列，其首项为tb+

2

t-2

，公比为

t

2

．
于是an+

2

t-2

=(tb+

2

t-2

)(

t

2

)n-1，即an=(tb+

2

t-2

)(

t

2

)n-1-

2

t-2

．
又

lim

n→∞

an存在，可得0＜|

t

2

|＜1，所以-2＜t＜2且t≠0.

lim

n→∞

an=

2

2-t

．
（II）证明：因为g（x）=f^-1（x），
所以a_n=g（b_n+1）=f^-1（b_n+1），即b_n+1=f（a_n）．
下面用数学归纳法证明a_n+1＜a_n（n∈N^*）．
（1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4），
得a₁=f（b₁）=f（1）＜1（5），b₂=f（a₁）＜f（1）＜1（6），a₂=f（b₂）＜f（1）=a₁（7），
即a₂＜a₁，结论成立．
（8）假设n=k（9）时结论成立，即a_k+1＜a_k（10）．由f（x）（11）为增函数，得f（a_k+1）＜f（a_k）（12），即b_k+2＜b_k+1（13），进而得f（b_k+2）＜f（b_k+1）（14），即a_k+2＜a_k+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）可知，对任意的n∈N^*（17），a_n+1＜a_n（18）．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．