Question

已知向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），

m

•

n

=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且

CA

•

CB

=18，求c边的长．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得

m

•

n

=sin(A+B)，再由已知

m

•

n

=sin2C，可得sin2C=sinC，cosC=

1

2

从而求得C的值．
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长．

解答：解：（1）由于

m

•

n

=sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B)，…（2分）
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC，∴

m

•

n

=sinC．…（3分）
又∵

m

•

n

=sin2C，∴sin2C=sinC，cosC=

1

2

，C=

π

3

．…（6分）
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b．…（8分）∵

CA

•

CB

=18，即abcosC=18，ab=36．…（10分）
由余弦弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，…（11分）
∴c²=4c²-3×36，c²=36，∴c=6．…（12分）

点评：本题主要考查等差数列的性质，查两个向量的数量积公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．