Question

已知命题p：方程x²+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析：若命题p真，则有

△ =m2-4＞0 - m 2 ＜0 f(0)＞0

，解得 m＞2；若命题q真，则有判别式△′=[4（m-2）]²-16＜0，解得 1＜m＜3．分命题p为真、命题q为假，以及命题p为假、命题q为真两种情况，分别求出m的取值范围，取并集即得所求．

解答：解：令f（x）=x²+mx+1，若命题p真，则有

△ =m2-4＞0 - m 2 ＜0 f(0)＞0

，解得 m＞2．
若命题q真，则有判别式△′=[4（m-2）]²-16＜0，解得 1＜m＜3．
根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得命题p和命题q一个为真，另一个为假．
当命题p为真、命题q为假时，m≥3．
当命题p为假、命题q为真时，1＜m≤2．
综上可得，m的取值范围为[3，+∞）∪（1，2]．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．