【题目】(1)若正整数n可以表示成)的形式,则称n为“好数”.试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程
的所有非负整数解
【答案】(1)9;(2)(1,0,0),(1,1,0),(2,1,0),(3,2,0),(4,l,1),(2,0,1).
【解析】
(1)设所求的好数为n,
于是,存在正整数t (t>1),使得显然,
为奇数.
若b为奇数,则 ①
而是奇数个奇数相加减的结果仍然是奇数,只可能是l,代入
式①得b=l,这与b≥2矛盾.
若b为偶数,则
若,则
所以,t=1.矛盾
若,
但,
故
综上,所求的所有好数只有一个n=9.
(2)显然,≥1.当z=0时,若y≤1,易得方程的三组解(1,0,0),(1,1,0),(2,l,0);
若y≥2,由(1)的结论易知此时方程只有一组解(3,2,0).
当z≥l时,显然,.
易知当且仅当(mod 4)时,
;
当且仅当(mod 4)时,
若 ②
则,此时,
设对式②两边模4得
于是,y是奇数.设
则式②变为,
即
由,有
结合(1)的结论可知满足式③只有(1,0)一对,代人式④得z=1.
此时,原方程的一组解为(4,l,1).
若, ⑤
则,此时,
设则
⑥
当k=0时,y=0,z=1,原方程的一组解为(2,0,1).
当k≥1时,对式⑥两边模4得
于是,y是偶数.设
此时,再对式⑥两边模8得
于是,z为偶数.设
于是,式⑥变为
结合(1)的结论知 于是,
,矛盾.
故(,y,z)=(1,0,0),(1,1,0),(2,1,0),(3,2,0),(4,l,1),(2,0,1).
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【题目】已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某班级的全体学生平均分成个小组,且每个小组均有
名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动,若抽取的
名学生中至少有一名男生的概率为
,则( )
A.该班级共有名学生
B.第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C.抽取的名学生中男女生数量相同的概率是
D.设抽取的名学生中女生数量为
,则
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【题目】水稻是人类重要的粮食作物之一,耕种与食用的历史都相当悠久,日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式.为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别,某市红旗农场于2019年选取了200块农田,分成两组,每组100块,进行试验.其中第一组采用直播的方式进行播种,第二组采用撒播的方式进行播种.得到数据如下表:
产量(单位:斤) 播种方式 | [840,860) | [860,880) | [880,900) | [900,920) | [920,940) |
直播 | 4 | 8 | 18 | 39 | 31 |
散播 | 9 | 19 | 22 | 32 | 18 |
约定亩产超过900斤(含900斤)为“产量高”,否则为“产量低”
(1)请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关?
产量高 | 产量低 | 合计 | |
直播 | |||
散播 | |||
合计 |
附:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间(分钟)与乘客等候人数
(人)之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间 | ||||||
等候人数 |
调查小组先从这组数据中选取
组数据求线性回归方程,再用剩下的
组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数
,再求
与实际等候人数
的差,若差值的绝对值不超过
,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.
(1)从这组数据中随机选取
组数据后,求剩下的
组数据的间隔时间之差大于
的概率;
(2)若选取的是后面组数据,求
关于
的线性回归方程
,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)
参考公式:,
.
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为
.现以极点
为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标系方程和直线
的普通方程;
(2)点在曲线
上,且到直线
的距离为
,求符合条件的
点的直角坐标.
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0.已知直线l的参数方程为(
为参数),点M的直角坐标为
.
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
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【题目】已知椭圆:
的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
(1)求的方程;
(2)设为
的左焦点,
为直线
上任意一点,过点
作
的垂线交
于两点
,
.
(i)证明:平分线段
(其中
为坐标原点);
(ii)当取最小值时,求点
的坐标。
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