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如图1,平面四边形ABCD关于直线AC对称,∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD沿BD折起(如图2),使二面角A-BD-C的余弦值等于
3
3
.对于图2:
(Ⅰ)求AC;
(Ⅱ)证明:AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.
分析:(I)取BD的中点E,先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC;
(II)欲证线面垂直,转化为证明线线垂直,证明AC⊥BC,AC⊥CD即可;
(III)欲求直线AC与平面ABD所成角,先结合(I)中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角,最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值.
解答:(Ⅰ)解:取BD的中点E,连接连接AE,CE,
由AB=AD,CB=CD,得:AE⊥BD,CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,
∴cos∠AEC=
3
3

在△ACE中,AE=
6
,CE=
2

∴AC2=AE2+CE2-2AE•CE•cos∠AEC=6+2-2×
6
×
2
×
3
3
=4
∴AC=2;
(Ⅱ)由AD=BD=2
2
,AC=BC=CD=2
∴AC2+BC2=AB2,AC2+CD2=AD2
∴∠ACB=∠ACD=90°
∴AC⊥BC,AC⊥CD,
又BC∩CD=C,
∴AC⊥平面BCD.
((Ⅲ)由(Ⅰ)知BD⊥平面ACE,BD?平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD,平面ACE∩平面ABD=AE,
作CF⊥AE交AE于F,则CF⊥平面ABD,∠CAF就是AC与平面ABD所成的角,
∴sin∠CAF=sin∠CAE=
CE
AE
=
3
3
点评:本题考查余弦定理的运用,二面角、线面角的求法,线面垂直的判定,以及数形结合数学、空间想象能力或用向量解决立体几何问题的方法能力.
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如图1,平面四边形ABCD中,A=
π
3
C=
π
2
,CB=CD=2,且AB=AD
.把△ABD沿BD折起(如图2),使二面角A-BD-C的余弦值等于
3
3
对于图二,完成以下各小题:
(1)求AC的长;
(2)证明:AC⊥平面BCD;
(3)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

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(Ⅰ)求AC;
(Ⅱ)证明:AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

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