Question

在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为

π

3

，且OA=2，OB=1，则直线AB与平面OBC所成角的正弦值为

2 2

3

．

Answer 1

分析：取OC=2，可得平面OBC⊥平面ABC，可确定∠ABC即为AB与面OBC所成的角，在△ABC中，利用余弦定理可求直线AB与平面OBC所成角的余弦值，从而可求直线AB与平面OBC所成角的正弦值．

解答：解：由∠AOB=60°、OA=2OB=2得AB⊥OB，AB=

3

不妨取OC=2，由∠COB=60°，得CB⊥OB，BC=

3

∵CB∩AB=B
∴OB⊥平面ABC
∵OB?平面OBC
∴平面OBC⊥平面ABC
过A作AD⊥BC
∴AD⊥平面OBC
∴∠ABC即为AB与面OBC所成的角
∵OA=OC=2，∠AOC=60°，∴AC=2
在△ABC中，AB=BC=

3

，AC=2
由余弦定理，cos∠ABC=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

∴sin∠ABC=

1- 1 9

=

2 2

3

故答案为：

2 2

3

点评：本题考查线面角，解题的关键是选择适当线段的长度，确定线面角，再利用余弦定理求解．