Question

14．已知关于x的一元二次方程c（a-b）x²+b（c-a）x+a（b-c）=0有两个相等实根，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{b}$．

Answer 1

分析 令f（x）=c（a-b）x²+b（c-a）x+a（b-c），则f（1）=c（a-b）+b（c-a）+a（b-c）=0，则方程有两个相等的实数根1，运用韦达定理，即可得证．

解答 证明：令f（x）=c（a-b）x²+b（c-a）x+a（b-c），
则f（1）=c（a-b）+b（c-a）+a（b-c）
=ac-bc+bc-ab+ab-ac=0，
即有1为f（x）=0的根，
由题意可得f（x）=0有两个相等实根1，
则1×1=$\frac{a（b-c）}{c（a-b）}$，
即有ab-ac=ca-cb，
即2ac=b（a+c），
即为$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$．

点评 本题考查二次函数和二次方程的关系，注意运用韦达定理，考查运算能力，属于基础题．