Question

设向量

α

，

β

的夹角θ定义：

α

×

β

=|

α

||

β

|sinθ 若平面内互不相等的两个非零向量

a

，

b

满足：|

a

|=1，（

a

-

b

）与

b

的夹角为150°，

a

×

b

的最大值为（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  2+ 3

  2

• D、

  2+ 3

  4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：设

a

=

OA

，

b

=

OB

，则

BA

=

a

-

b

，由已知可得：B点为半径为1的圆上与OA不重合的动点，运用正弦定理和三角函数的化简，以及余弦函数的最值，可得答案．

解答： 解：设

a

=

OA

，

b

=

OB

，
则

BA

=

a

-

b

，
∵|

a

|=1，

a

-

b

与

b

的夹角为150°，
∴△OAB中，OA=1，∠OBA=30°，
由正弦定理可得：△OAB的半径为1，
则B点为圆上与OA不重合的动点，
设∠AOB=θ（0°＜θ＜150°），
由正弦定理可得，AB=2sinθ，OB=2sin（150°-θ），
则

a

×

b

=OA•OBsinθ=2S_△OAB=AB•OB•sin30°
=2sinθsin（150°-θ）=-[cos150°-cos（2θ-150°）]
=

3

2

+cos（2θ-150°），
当θ=75°时，

a

×

b

取得最大值，且为1+

3

2

．
故选C．

点评：本题考查的知识点是平面向量的夹角概念，余弦函数的图象和性质，是三角函数与向量的综合应用，难度中档．