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    【题目】设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）根据题意求出，进而可求出结果；

    （2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.

    解：（1）由题设条件可得，，解得，

    ∴，所以椭圆的方程为

    （2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积

    当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，

    设直线的方程为，与椭圆联立可得

    ，

    由，得

    显然直线的直线方程为，直线，间的距离

    ，

    同理可求得，间的距离为

    所以四边形面积为

    （等号当且仅当时成立）

    又，

    故由以上可得外切矩形面积的取值范围是

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    （2）过抛物线上一点作切线交椭圆于两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交轴为，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限．求点的坐标．

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    A.B.C.D.

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