Question

11．已知函数f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）用定义法判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若当x∈[-1，5]时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）为定义在R上的奇函数，得f（0）=a+1=0，得a=-1，验证当a=-1时，f（x）为奇函数，则a值可求；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）可得f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）当x∈[-1，5]时，由f（x）为减函数求出函数的最大值，再由f（x）≤0恒成立，得${f_{max}}（x）=\frac{4}{3}+a≤0$，从而求得$a≤-\frac{4}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，
∵x∈R，∴f（0）=a+1=0，得a=-1，
验证当a=-1时，f（x）=-1+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$为奇函数，
∴a=-1；
（Ⅱ）∵$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}+1}}$，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{{2^{{x_2}+1}}-{2^{{x_1}+1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
由x₁＜x₂得：x₁+1＜x₂+1，
∴${2^{{x_1}+1}}＜{2^{{x_2}+1}}$，${2^{{x_2}+1}}-{2^{{x_1}+1}}＞0$．
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）当x∈[-1，5]时，
∵f（x）为减函数，∴${f_{max}}（x）=f（-1）=\frac{4}{3}+a$，
若f（x）≤0恒成立，则满足${f_{max}}（x）=\frac{4}{3}+a≤0$，
得$a≤-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查函数的性质，考查了恒成立问题，训练了利用函数的单调性求函数最值，是中档题．