Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设出椭圆标准方程，根据题意可知b=c，根据准线方程求得c和a的关系，进而求得a，b和c，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程和A，B的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁x₂的表达式，表示出|AB|，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于S的不等式，求得S的最大值，进而求得k，则直线方程可得．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c)
（Ⅰ）由已知得

b=c 2a2 c =1 a2=b2+c2

?

a= 2 4 b=c= 1 4

，
∴所求椭圆方程为8x²+16y²=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+2 8x2+16y2=1

，消去y得关于x的方程：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0?64k²-24（1+2k²）＞0
解得k2＞

3

2

又由韦达定理得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

1+2k2

16k2-24

原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

∵S△AOB=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 2k2-3

1+2k2

．
对S=

16k2-24

1+2k2

两边平方整理得：4S²k⁴+4（S²-4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，

16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0 4-S2 S2 ＞0 S2+24 4S2 ＞0

整理得：S2≤

1

2

又S＞0，∴0＜S≤

2

2

从而S_△AOB的最大值为S=

2

2

，
此时代入方程（*）得4k⁴-28k²+49=0∴k=±

254

2

所以，所求直线方程为：±

254

x-2y+4=0．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生分析问题和基本运算的能力．