Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=,前n项和为S_n,且2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0.

(1)求{a_n}的通项;

(2)求{nS_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解:(1)由2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0,得2¹⁰(S₃₀-S₂₀)=S₂₀-S₁₀,

    即2¹⁰(a₂₁+a₂₂+a₂₃+…+a₃₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀,

    2¹⁰q¹⁰(a₁₁+a₁₂+a₁₃+…+a₂₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀.

    ∵a_n＞0,

    ∴2¹⁰q¹⁰=1.

    ∴q=,a_n=a₁q^n-1=()ⁿ.

    (2)S_n==1-,nS_n=n-,

    T_n=(1+2+3+…+n)-(+++…+),

    T_n=(1+2+3+…+n)-(+++…++),

    ∴T_n-T_n=(1+2+3+…+n)-(+++…+)+

    =-+.

    ∴T_n=++-2.