Question

根据条件求下列函数的解析式：
（1）f（x）=3x²-2求f（2x-1）的解析式
（2）f（

x

+1）=x+2

x

．求f（x）的解析式；
（3）f（x）为二次函数且f（0）=3，f（x+2）-f（x）=4x+2．求f（x）的解析式；
（4）已知2f（x）-f（-x）=x+1，求f（x）的解析式．
（5）设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）代入法：将2x-1代入f（x）的解析式，得f（2x-1）=3（2x-1）²-2；（2）方法一定义法（拼凑法），方法二（换元法）令t=

x

+1；
（3）（待定系数法）设f（x）=ax²+bx+c；（4）解方程组法，用-x去替换式子中的x，得2f（-x）-f（x）=-x+1，解方程组求出即可；（5）赋值法．

解答： 解：（1）代入法：将2x-1代入f（x）的解析式，得f（2x-1）=3（2x-1）²-2∴f（2x-1）=12x²-12x+1
（2）方法一定义法（拼凑法）

∵f( x +1)=x+2 x =( x +1)2-1 ∴f(x)=x2-1，x∈[1，+∞)

方法二（换元法）令t=

x

+1，
∴t≥1，x=（t-1）²．则f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，即f（x）=x²-1，x∈[1，+∞）．
（3）（待定系数法）设f（x）=ax²+bx+c （a≠0），∴f（x+2）=a（x+2）²+b（x+2）+c，
则f（x+2）-f（x）=4ax+4a+2b=4x+2．
∴

4a=4 4a+2b=2

，∴

a=1 b=-1

．
，又f（0）=3，∴c=3，∴f（x）=x²-x+3．
（4）（解方程组法）∵2f（x）-f（-x）=x+1，用-x去替换式子中的x，得2f（-x）-f（x）=-x+1
即有

2f(x)-f(-x)=x+1 2f(-x)-f(x)=-x+1

，解方程组消去f（-x），得f(x)=

x

3

+1．
（5）（赋值法）解法一∵f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）对于任意实数x，y都成立，
∴令x=y，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1），又f（0）=1，∴f（x）=x²+x+1
解法二：令x=0，则有f（0-y）=f（0）-y（0-y+1），即f（-y）=1-y（-y+1）①
再令-y=x，代入①式得f（x）=1+x（x+1）=x²+x+1．

点评：本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题．