Question

已知直线l：y=ax+b，其中实数a，b∈{-1，1，2}．
（Ⅰ）求可构成的不同的直线l的条数；
（Ⅱ）求直线l：y=ax+b与圆x²+y²=1没有公共点的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）实数a，b∈{-1，1，2}，直线l：y=ax+b，由加法计数原理能求出可构成的不同的直线l的条数．
（Ⅱ）直线l：y=ax+b与圆x²+y²=1没有公共点，是指圆心（0，0）到直线ax-y+b=0的距离大于圆的半径，由此能直线l：y=ax+b与圆x²+y²=1没有公共点的概率．

解答：解：（Ⅰ）∵实数a，b∈{-1，1，2}，直线l：y=ax+b，
∴可构成的不同的直线l的条数有：
a=-1，b=-1，1，2；a=1，b=-1，1，2；a=2，b=-1，1，2．
故可构成的不同的直线l的条数共9条．
（Ⅱ）直线l：y=ax+b与圆x²+y²=1没有公共点，
是指圆心（0，0）到直线ax-y+b=0的距离d=

|b|

a2+1

＞圆的半径1，
即

|b|

a2+1

＞1，即a²+1＜b²，
∵构成直线l：y=ax+b的（a，b）的值有（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1），
（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），
满足a²+1＜b²的（a，b）的值有（-1，2），（1，2），
∴直线l：y=ax+b与圆x²+y²=1没有公共点的概率P=

2

9

．

点评：本题考查直线的条数的求法，考查直线与圆没有公共点的概率，解题时要认真审题，注意加法计数原理和点到直线的距离公式的合理运用．